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江蘇數學文精校版--2010普通高等學校招生統一考試

恒謙教育研究院

2010 年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇卷)
數學Ⅰ試題

注意事項
考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求 1.本試卷共 4 頁,包含填空題(第 1 題——第 14 題) 、解答題(第 15 題——第 20 題) 。本卷滿分 160 分,考試時間為 120 分鐘。考試結束后,請將本卷和答題卡一并交回。 2.答題前,請您務必將自己的姓名、準考證號用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的 規定位置。 3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與您本人是否相符。 4.請在答題卡上按照晤順序在對應的答題區域內作答,在其他位置作答一律無效。作答必須用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆。請注意字體工整,筆跡清楚。 5.如需作圖,須用 2B 鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗。 6.請保持答題卡卡面清潔,不要折疊、破損。

參考公式: 錐體的體積公式: V 錐體= Sh,其中 S 是錐體的底面積,h 是高。 一、填空題:本大題共 14 小題,每小題 5 分,共 70 分。請把答案填寫在答題卡相 .... 應的位置上 . ..... 1、設集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},則實數 a 的值為______▲_____. 2、設復數 z 滿足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 單位) ,則 z 的模為______▲_____. 3、盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只 從中隨機地摸出兩只球,則他們顏色不 率是_ ▲__. 4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質量, 從中隨 黑球, 若 同的概 為虛數
1 3

機抽取了 100 根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標) ,所得數 據都在區間[5,40]中,其頻率分布直方圖如圖所示,則其抽樣的 100 根中,有_▲___ 根在棉花纖維的長度小于 20mm。
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5、設函數 f(x)=x(ex+ae-x)(x ? R)是偶函數,則實數 a 的值為_____▲_________ 6、在平面直角坐標系 xOy 中,已知雙曲線
x2 y2 ? ? 1 上一點 M 的橫坐標是 3,則點 M 4 12

到此雙曲線的右焦點的距離是___▲_______ 7、右圖是一個算法的流程圖,則輸出 S 的值是______▲_______

8、 函數 y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與 x 軸交點的橫坐標為 ak+1,其中 k? N ? , 若 a1=16,則 a1+a3+a5 的值是____▲_____ 9、 在平面直角坐標系 xOy 中, 已知圓 x 2 ? y 2 ? 4 上有且只有四個點到直線 12x-5y+c=0 的距離為 1,則實數 c 的取值范圍是______▲_____
?? 10、定義在區間 ? ? 0 , ? 上的函數 y=6cosx 的圖像與 y=5tanx 的圖像的交于點 P,過點
? 2?

P 作 x 軸的垂線,垂足為 P1,直線 PP1 與函數 y=sinx 的圖像交于點 P2,則線段 P1P2 的 長為_______▲_____。
x 11、已知函數 f ( x) ? ? ? ? 1, x ? 0 ,則滿足不等式 f (1 ? x 2 ) ? f (2 x) 的 x?0 ?1,
2

x 的范圍是__▲___。

12、設實數 x,y 滿足 3≤ xy 2 ≤8,4≤

x2 x3 ≤9,則 4 的最大值是 y y


b a a b



13 、在銳角三角形 ABC ,角 A 、 B 、 C 的對邊分別為 a 、 b 、 c , ? ? 6 cos C ,則
tan C tan C =____▲_____。 ? tan A tan B

14、將邊長為 1m 的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊,其中一塊是 梯形,記 S ?
2 (梯形的周長) ,則 S 的最小值是____▲____。 梯形的面積

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二、解答題:本大題共 6 小題,共計 90 分,請在答題卡指定區域內作答,解答時應 寫出文字說明、證明或演算步驟. 15、 (本小題滿分 14 分) 在平面直角坐標系 xOy 中,已知點 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以線段 AB、AC 為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長; (2)設實數 t 滿足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值。

16、 (本小題滿分 14 分) 如圖,在四棱錐 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD, PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。 (1)求證:PC⊥BC; (2)求點 A 到平面 PBC 的距離。

17、 (本小題滿分 14 分) 某興趣小組測量電視塔 AE 的高度 H(單位:m) ,如示意圖,垂直放置的標桿 BC 的高 度 h=4m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1) 該小組已經測得一組 ? 、? 的值, tan ? =1.24, tan ? =1.20, 請據此算出 H 的值; (2)該小組分析若干測得的數據后,認為適當調整標 到電視塔的距離 d(單位:m) ,使 ? 與 ? 之差較大,可 提高測量精確度。若電視塔的實際高度為 125m,試問
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桿 以 d

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為多少時, ? - ? 最大?

18、 (本小題滿分 16 分) 在平面直角坐標系 xoy 中,如圖,已知橢圓 的左、右頂點為 A、B,右焦點為 F。設過點 T 直線 TA 、TB 與橢圓分別交于點 M ( x1 , y1 ) 、 其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。 (1)設動點 P 滿足 PF 2 ? PB 2 ? 4 ,求點 P 的軌跡; (2)設 x1 ? 2, x 2 ? ,求點 T 的坐標; (3)設 t ? 9 ,求證:直線 MN 必過 x 軸上的一定點(其坐標與 m 無關) 。
1 3

x2 y2 ? ?1 9 5

( t, m ) 的
N ( x2 , y 2 ) ,

19、 (本小題滿分 16 分) 設各項均為正數的數列 ?a n ?的前 n 項和為 S n ,已知 2a 2 ? a1 ? a3 ,數列 ? S n ?是公差為 d 的等差數列。 (1)求數列 ?a n ?的通項公式(用 n, d 表示) ; (2)設 c 為實數,對滿足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整數 m, n, k ,不等式 S m ? S n ? cS k 都 成立。求證: c 的最大值為 。
9 2

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20、 (本小題滿分 16 分) 設 f ( x) 是定義在區間 (1,??) 上的函數,其導函數為 f ' ( x) 。如果存在實數 a 和函數 h( x) , 其中 h( x) 對任意的 x ? (1,??) 都有 h( x) >0, 使得 f ' ( x) ? h( x)( x 2 ? ax ? 1) , 則稱函數 f ( x) 具有 性質 P(a) 。 (1)設函數 f ( x) ? ln x ?
b?2 ( x ? 1) ,其中 b 為實數。 x ?1

(i)求證:函數 f ( x) 具有性質 P(b) ; (ii)求函數 f ( x) 的單調區間。 (2)已知函數 g ( x) 具有性質 P(2) 。給定 x1 , x2 ? (1, ??), x1 ? x2 , 設 m 為實數,
? ? mx1 ? (1 ? m) x 2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx 2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,求
m 的取值范圍。

數學Ⅱ(附加題) 21.[選做題]本題包括 A、B、C、D 四小題,請選定其中兩題 ,并在相應的答題區域 ....... ......... 內作答 。若多做,則按作答的前兩題評分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演 ... 算步驟。 A. 選修 4-1:幾何證明選講 (本小題滿分 10 分)
A D

B O

C

AB 是圓 O 的直徑,D 為圓 O 上一點,過 D 作圓 線交 AB 延長線于點 C, 若 DA=DC, 求證: AB=2BC。 B. 選修 4-2:矩陣與變換 (本小題滿分 10 分)

O 的切

在平面直角坐標系 xOy 中,已知點 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。設 k 為非零實數, 矩陣 M= ?
? k 0? ?0 1 ? ,N= ? ? ? ,點 A、B、C 在矩陣 MN 對應的變換下得到點分別為 A1、B1、 ? 0 1? ?1 0?

C1,△A1B1C1 的面積是△ABC 面積的 2 倍,求 k 的值。
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C. 選修 4-4:坐標系與參數方程 (本小題滿分 10 分) 在極坐標系中,已知圓ρ =2cosθ 與直線 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 相切,求實數 a 的 值。 D. 選修 4-5:不等式選講 (本小題滿分 10 分) 設 a、b 是非負實數,求證: a 3 ? b3 ? ab (a 2 ? b 2 ) 。

[必做題]第 22 題、第 23 題,每題 10 分,共計 20 分。請在答題卡指定區域 內作答, ....... 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 22.(本小題滿分 10 分) 某工廠生產甲、乙兩種產品,甲產品的一等品率為 80%,二等品率為 20%;乙產品的 一等品率為 90%,二等品率為 10%。生產 1 件甲產品,若是一等品則獲得利潤 4 萬元, 若是二等品則虧損 1 萬元;生產 1 件乙產品,若是一等品則獲得利潤 6 萬元,若是 二等品則虧損 2 萬元。設生產各種產品相互獨立。 (1)記 X(單位:萬元)為生產 1 件甲產品和 1 件乙產品可獲得的總利潤,求 X 的 分布列; (2)求生產 4 件甲產品所獲得的利潤不少于 10 萬元的概率。

23.(本小題滿分 10 分)
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已知△ABC 的三邊長都是有理數。 (1)求證 cosA 是有理數; (2)求證:對任意正整數 n,cosnA 是有理數。

參考答案 一、填空題 1. 1 6. 4 11. (?1, 2 ?1) 二、解答題 15.本小題考查平面向量的幾何意義、線性運算、數量積,考查運算求解能力。滿分 14 分。
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2. 2 7. 63

3.

1 2

4. 30

5. -1
2 3

8. 21 12. 27

9.(-13,13) 10. 13. 4 14.

32 3 3

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解: (1)由題設知 AB ? (3,5), AC ? (?1,1) ,則
??? ? ???? ??? ? ???? AB ? AC ? (2, 6), AB ? AC ? (4, 4).

??? ?

????

所以 | AB ? AC |? 2 10,| AB ? AC |? 4 2. 故所求的兩條對角線的長分別為 4 2 、 2 10 。 (2)由題設知: OC =(-2,-1), AB ? tOC ? (3 ? 2t ,5 ? t ) 。 由( AB ? t OC )· OC =0,得: (3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2, ?1) ? 0 , 從而 5t ? ?11, 所以 t ? ? 11 。
5

??? ? ????

??? ? ????

????

??? ?

????

16.本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系,考查幾何體的體積,考查 空間想象能力、推理論證能力和運算能力。滿分 14 分。 解: (1)因為 PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC。 由∠BCD=900,得 CD⊥BC, 又 PD ? DC=D,PD ? 平面 PCD,DC ? 平面 PCD 所以 BC⊥平面 PCD。 因為 PC ? 平面 PCD,故 PC⊥BC。 (2)連結 AC。設點 A 到平面 PBC 的距離為 h。 因為 AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。 從而 AB=2,BC=1,得 ?ABC 的面積 S?ABC ? 1 。 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱錐 P-ABC 的體
1 1 V ? S ?ABC ? PD ? 。 3 3



因為 PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC。 又 PD=DC=1,所以 PC ? PD 2 ? DC 2 ? 2 。 由 PC⊥BC,BC=1,得 ?PBC 的面積 S?PBC ?
1 3 1 3
2 。 2

由 VA? PBC ? VP ? ABC , S? PBC ? h ? V ? ,得 h ? 2 ,
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因此,點 A 到平面 PBC 的距離等于 2 。 17.本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應用。 解: (1)由 AB ?
H? h H H h H H , BD ? , AD ? 及 AB+BD=AD,得 ,解得: ? ? tan ? tan ? tan ? tan ? tan ? tan ?

h tan ? 4 ?1.24 ? ? 124 。 tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的電視塔的高度 H 是 124m。 (2)由題設知 d ? AB ,得
tan ? ? H H h H ?h ,所以 ,由AB ? AD ? BD ? ? , 得 tan ? ? d tan ? tan ? d

tan ? ? tan ? h h ? ? 1 ? tan ? ? tan ? d ? H ( H ? h) 2 H ( H ? h) d H ( H ? h) 當且僅當 d ? ,即 d ? H ( H ? h) ? 125 ? (125 ? 4) ? 55 5 時,上式取等號。所以當 d tan(? ? ? ) ?

d ? 55 5 時, tan(? ? ? ) 最大。

因為 0 ? ? ? ? ?

?
2

,則 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以當 d ? 55 5 時, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。 18.本小題主要考查求簡單曲線的方程,考查方直線與橢圓的方程等基礎知識。考查 運算求解能力和探究問題的能力。滿分 16 分。 解:由題設得 A(-3,0) ,B(3,0) ,F(2,0) (1)設點 P(x,y) ,則 PF 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 , PB2 ? ( x ? 3)2 ? y 2 。 由 PF 2 ? PB 2 ? 4 ,得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4, 化簡得 x ? 。 故所求點 P 的軌跡為直線 x ? 。 (2)將 x1 ? 2, x 2 ? 分別代入橢圓方程,以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得:M(2, ) 、N( ,?
1 3 5 3 1 3 20 ) 9 9 2 9 2

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1 y?0 x?3 ,即 y ? x ? 1 , ? 5 3 ?0 2?3 3 5 5 y?0 x?3 直線 NTB 方程為: ,即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3

直線 MTA 方程為:

?x ? 7 聯立方程組,解得: ? 10 , ? y ? ? 3 ?

所以點 T 的坐標為 (7,

10 )。 3

(3)點 T 的坐標為 (9, m)
y?0 x?3 m ,即 y ? ( x ? 3) , ? m?0 9?3 12 y ?0 x ?3 m 直線 NTB 方程為: ,即 y ? ( x ? 3) 。 ? m?0 9?3 6

直線 MTA 方程為:

分別與橢圓 解得: M (

x2 y2 ? ? 1 聯立方程組,同時考慮到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 9 5

3(80 ? m 2 ) 40m 3(m 2 ? 20) 20m , ) N ( ,? )。 、 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m 2

20m 3(m 2 ? 20) x ? 20 ? m 2 20 ? m 2 ? (方法一)當 x1 ? x2 時,直線 MN 方程為: 2 40m 20m 3(80 ? m ) 3(m 2 ? 20) ? ? 80 ? m 2 20 ? m 2 80 ? m 2 20 ? m 2 y?

令 y ? 0 ,解得: x ? 1 。此時必過點 D(1,0) ; 當 x1 ? x2 時,直線 MN 方程為: x ? 1 ,與 x 軸交點為 D(1,0) 。 所以直線 MN 必過 x 軸上的一定點 D(1,0) 。 (方法二)若 x1 ? x2 ,則由
240 ? 3m 2 3m 2 ? 60 ? 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 , 80 ? m 2 20 ? m 2

此時直線 MN 的方程為 x ? 1 ,過點 D(1,0) 。 若 x1 ? x2 ,則 m ? 2 10 ,直線 MD 的斜率 kMD
40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m 2 ?1 80 ? m 2

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?20m ? m 2 ? 10m ,得 k ? k ,所以直線 MN 過 D 點。 ? 20 MD ND 3m 2 ? 60 40 ? m 2 ?1 20 ? m 2

直線 ND 的斜率 k ND

因此,直線 MN 必過 x 軸上的點(1,0) 。 19.本小題主要考查等差數列的通項、求和以及基本不等式等有關知識,考查探索、 分析及論證的能力。滿分 16 分。 解: (1)由題意知: d ? 0 , Sn ? S1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d
2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3 ? 3( S 2 ? S1 ) ? S3 , 3[( a1 ? d ) 2 ? a1 ]2 ? ( a1 ? 2d ) 2 ,

化簡,得: a1 ? 2 a1 ? d ? d 2 ? 0, a1 ? d , a1 ? d 2
S n ? d ? (n ? 1)d ? nd , S n ? n 2 d 2 ,

當 n ? 2 時, an ? Sn ? Sn ?1 ? n 2 d 2 ? (n ? 1)2 d 2 ? (2n ? 1)d 2 ,適合 n ? 1 情形。 故所求 an ? (2n ? 1)d 2 (2)由 a1 ? d 及 Sn ? a1 ? (n ? 1)d ,得 d ? 0 , Sn ? n 2 d 2 。 于是,對滿足題設的 m, n, k , m ? n ,有
( m ? n) 2 2 9 2 2 9 S m ? S n ? (m ? n )d ? d ? d k ? Sk 。 2 2 2
2 2 2

所以 c 的最大值 cmax ? 。
9 3 3 2 2 2 3 3 1 且 Sm ? Sn ? (m 2 ? n 2 )d 2 ? d 2 [( k ? 1)2 ? ( k ? 1)2 ] ? d 2 (9k 2 ? 4) 。 2 2 2

9 2

另一方面,任取實數 a ? 。設 k 為偶數,令 m ? k ? 1, n ? k ? 1 ,則 m, n, k 符合條件,

于是,只要 9k 2 ? 4 ? 2ak 2 ,即當 k ?
9 2 9 2

2 1 時, Sm ? Sn ? d 2 ? 2ak 2 ? aSk 。 2 2a ? 9

所以滿足條件的 c ? ,從而 cmax ? 。 因此 c 的最大值為 。 20.本小題主要考查函數的概念、性質、圖象及導數等基礎知識,考查靈活運用數形
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結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分 16 分。 解: (1) (i) f '( x) ? ∵ x ? 1 時, h( x) ?
1 b?2 1 ? ? ( x 2 ? bx ? 1) 2 2 x ( x ? 1) x( x ? 1)

1 ? 0 恒成立, x( x ? 1) 2

∴函數 f ( x) 具有性質 P(b) ; (ii) (方法一)設 ? ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ? ( x ? b )2 ? 1 ? b , ? ( x) 與 f ' ( x) 的符號相同。
2 4
2

當1 ? b

2

4

? 0, ?2 ? b ? 2 時, ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此時 f ( x) 在區間 (1,??) 上遞增;

當 b ? ?2 時,對于 x ? 1 ,有 f ' ( x) ? 0 ,所以此時 f ( x) 在區間 (1,??) 上遞增; 當 b ? ?2 時, ? ( x) 圖像開口向上,對稱軸 x ? ? ?1 ,而 ? (0) ? 1 , 對于 x ? 1 ,總有 ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此時 f ( x) 在區間 (1,??) 上遞增; (方法二)當 b ? 2 時,對于 x ? 1 , ? ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 0 所以 f ' ( x) ? 0 ,故此時 f ( x) 在區間 (1,??) 上遞增; 當 b ? 2 時 , ? ( x) 圖 像 開 口 向 上 , 對 稱 軸 x ? ? 1 , 方 程 ? ( x) ? 0 的 兩 根 為 :
b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ? 1, ? ? (0,1) , ,而 2 2 2 2 b ? b2 ? 4
b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ) 時,? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此時 f ( x) 在區間 (1, ) 當 x ? (1, 2 2
b 2 b 2

上遞

減;同理得: f ( x) 在區間 [

b ? b2 ? 4 , ??) 上遞增。 2

綜上所述,當 b ? 2 時, f ( x) 在區間 (1,??) 上遞增; 當 b ? 2 時, f ( x) 在 (1, b ?
b 2 ? 4 上遞減; ) 2
2 f ( x) 在 [ b ? b ? 4 , ??) 上遞增。

2

( 2 )由題設知, g ( x) 的導函數 g '( x) ? h( x)( x 2 ? 2 x ? 1) ,其中函數 h( x) ? 0 對于任意的
x ? (1,??) 都成立。所以,當 x ? 1 時, g '( x) ? h( x)( x ? 1) 2 ? 0 ,從而 g ( x) 在區間 (1,??) 上單調

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遞增。 ①當 m ? (0,1) 時,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,
? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,得 ? ? ( x1 , x2 ) ,同理可得 ? ? ( x1 , x2 ) ,所以由 g ( x) 的

單調性知 g (? ) 、 g ( ? ) ? ( g ( x1 ), g ( x2 )) , 從而有| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,符合題設。 ②當 m ? 0 時, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,
? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 于 是 由 ? ? 1, ? ? 1 及 g ( x) 的 單 調 性 知
g ( ? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (? ) ,所以| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,與題設不符。

③當 m ? 1 時,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 ,進而得| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,與題設不 符。 因此綜合①、②、③得所求的 m 的取值范圍是(0,1) 。 21.【選做題】 A.本題主要考查三角形、圓的有關知識,考查推理論證能力。 (方法一)證明:連結 OD,則:OD⊥DC, 又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=300,∠DOC=600, 所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC。 (方法二)證明:連結 OD、BD。 因為 AB 是圓 O 的直徑, 所以∠ADB=900, AB=2 OB。 因為 DC 是圓 O 的切線,所以∠CDO=900。 又因為 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA,
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于是△ADB≌△CDO,從而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC。 故 AB=2BC。 B.本題主要考查圖形在矩陣對應的變換下的變化特點,考查運算求解能力。滿分 10 分。 解:由題設得 MN ? ? 由?
? k 0? ?0 1 ? ?0 k ? ?? ??? ? ? 0 1 ? ?1 0 ? ?1 0 ?

?0 k ? ?0 ?2 ?2 ? ?0 0 k ? 、B1(0,-2) 、C1( k ,-2) 。 ?? ??? ? ,可知 A1(0,0) ?1 0 ? ?0 0 1 ? ?0 ?2 ?2 ?

計算得△ABC 面積的面積是 1,△A1B1C1 的面積是 | k | ,則由題設知: | k |? 2 ?1 ? 2 。 所以 k 的值為 2 或-2。 C.本題主要考查曲線的極坐標方程等基本知識,考查轉化問題的能力。滿分 10 分。 解: ? 2 ? 2? cos? ,圓ρ =2cosθ 的普通方程為: x 2 ? y 2 ? 2x, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 , 直線 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 的普通方程為: 3x ? 4 y ? a ? 0 , 又圓與直線相切,所以
| 3 ?1 ? 4 ? 0 ? a | 32 ? 42 ? 1, 解得: a ? 2 ,或 a ? ?8 。

D.本題主要考查證明不等式的基本方法,考查推理論證的能力。滿分 10 分。 (方法一)證明: a 3 ? b3 ? ab (a 2 ? b 2 ) ? a 2 a ( a ? b ) ? b 2 b ( b ? a )
? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? ( a ? b ) 2 [( a ) 4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a ) 2 ( b ) 2 ? ( a )( b )3 ? ( b ) 4 ]

因為實數 a、b≥0,
( a ? b ) 2 ? 0,[( a ) 4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a ) 2 ( b ) 2 ? ( a )( b )3 ? ( b ) 4 ] ? 0

所以上式≥0。即有 a 3 ? b3 ? ab (a 2 ? b 2 ) 。 (方法二)證明:由 a、b 是非負實數,作差得
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a 3 ? b3 ? ab (a 2 ? b 2 ) ? a 2 a ( a ? b ) ? b 2 b ( b ? a ) ? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ]

當 a ? b 時, a ? b ,從而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 當 a ? b 時, a ? b ,從而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 所以 a 3 ? b3 ? ab (a 2 ? b 2 ) 。 22.【必做題】本題主要考查概率的有關知識,考查運算求解能力。滿分 10 分。 解: (1)由題設知,X 的可能取值為 10,5,2,-3,且 P(X=10)=0.8×0.9=0.72, P(X=2)=0.8×0.1=0.08, 由此得 X 的分布列為: X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 -3 0.02 P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=-3)=0.2×0.1=0.02。

(2)設生產的 4 件甲產品中一等品有 n 件,則二等品有 4 ? n 件。 由題設知 4n ? (4 ? n) ? 10 ,解得 n ? 又 n ? N ,得 n ? 3 ,或 n ? 4 。 所求概率為 P ? C43 ? 0.83 ? 0.2 ? 0.84 ? 0.8192 答:生產 4 件甲產品所獲得的利潤不少于 10 萬元的概率為 0.8192。 23.【必做題】本題主要考查余弦定理、數學歸納法等基礎知識,考查推理論證的能 力與分析問題、解決問題的能力。滿分 10 分。 (方法一) (1)證明:設三邊長分別為 a, b, c , cos A ? b
2

14 , 5

? c2 ? a2 2bc

,∵ a, b, c 是有理數,

b 2 ? c 2 ? a 2 是有理數,分母 2bc 為正有理數,又有理數集對于除法的具有封

閉性, ∴b
2

? c2 ? a2 2bc

必為有理數,∴cosA 是有理數。
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(2)①當 n ? 1 時,顯然 cosA 是有理數; 當 n ? 2 時,∵ cos 2 A ? 2cos 2 A ? 1 ,因為 cosA 是有理數, ∴ cos 2 A 也是有理數; ②假設當 n ? k (k ? 2) 時,結論成立,即 coskA、 cos(k ? 1) A 均是有理數。 當 n ? k ? 1 時, cos(k ? 1) A ? cos kA cos A ? sin kA sin A ,
1 cos(k ? 1) A ? cos kA cos A ? [cos(kA ? A) ? cos(kA ? A)] , 2 1 1 cos(k ? 1) A ? cos kA cos A ? cos(k ? 1) A ? cos(k ? 1) A , 2 2

解得: cos(k ? 1) A ? 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A ∵cosA, cos kA , cos(k ? 1) A 均是有理數,∴ 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A 是有理數, ∴ cos(k ? 1) A 是有理數。 即當 n ? k ? 1 時,結論成立。 綜上所述,對于任意正整數 n,cosnA 是有理數。 (方法二)證明: (1)由 AB、BC、AC 為有理數及余弦定理知
cos A ? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

是有理數。

(2)用數學歸納法證明 cosnA 和 sin A ? sin nA 都是有理數。 ①當 n ? 1 時,由(1)知 cos A 是有理數,從而有 sin A ? sin A ? 1 ? cos 2 A 也是有理數。 ②假設當 n ? k (k ? 1) 時, cos kA 和 sin A ? sin kA 都是有理數。 當 n ? k ? 1 時,由 cos(k ? 1) A ? cos A ? cos kA ? sin A ? sin kA ,
sin A ? sin(k ? 1) A ? sin A ? (sin A ? cos kA ? cos A ? sin kA) ? (sin A ? sin A) ? cos kA ? (sin A ? sin kA) ? cos A ,

及①和歸納假設,知 cos(k ? 1) A 和 sin A ? sin(k ? 1) A 都是有理數。 即當 n ? k ? 1 時,結論成立。 綜合①、②可知,對任意正整數 n,cosnA 是有理數。

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