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幾種測量凸透鏡焦距方法的比較

陜西理工學院畢業論文

幾種測量凸透鏡焦距方法的比較
作者:蘭鵬濤
(陜西理工學院物理與電信工程學院物理學專業物理 1101 班,陜西漢中 723000)

指導教師:李靜玲
[摘 要] 凸透鏡焦距的測量方法和誤差分析已經有很多研究,比如常見的有平面鏡法、公式法、共軛法這三
種測量凸透鏡焦距的方法,本文著重研究這三種測量方法及其在不同條件下的優缺點,為學習者在測量凸透鏡焦距 時提供選擇的明確依據。

[關鍵詞] 凸透鏡;焦距;平面鏡法;公式法;共軛法;自準直法 引言 透鏡焦距測量是大學光學實驗的基礎性實驗也是光學實驗中的必修實驗,其中有很多文獻提出 了各種測量透鏡焦距的方法,目前最新的測量方法有 CCD 輔助測量凸透鏡焦距法,它是利用 CCD 攝 像機輔助的精確測量凸透鏡焦距的新方法,而且可以在透鏡焦距未知的情況下求出共軛距。也有利 用實物成虛像、虛物成實像的實驗方法來測量凸透鏡的焦距,其測量結果與實物成實像方法比較, 測量結果的精度更高,是目前透鏡焦距測量方法最值得推廣的方法。還有常用的一些方法比如:平 面鏡法、公式法、共軛法這三種測量凸透鏡焦距的方法,測量凸透鏡焦距的方法有很多。但是對每 種方法在不同條件下的優缺點研究卻是少之又少。本文則將通過其中最常用的三種,即平面鏡法、 公式法、共軛法這三種測量凸透鏡焦距的方法,通過實際測量及誤差計算來評價這三種方法在不同 環境中的選擇應用。

1.測量凸透鏡焦距的三種方法及其優缺點的討論
1.1 平面鏡法 ( 也常叫作自準直法 ) 具體實驗方法:分為四步,第一步是用平行光匯聚法粗測待測凸透鏡的焦距;第二步是將光具 座放在水平的桌面上,然后將照明光源、物屏、待測透鏡和平面鏡放在光具座導軌上,調節各光學 原件的光軸,使得各光學原件等高、共軸;第三步是移動透鏡并適當調節平面鏡的位置,那么就可 以看到物屏上出現倒立的清晰的實像;第四步是取下平面境,觀察像是否會消失:如果像不會消失, 證明此像不是經平面鏡反射所成的像,然后將平面鏡安裝好,重新找出等大倒立清晰的實像;如果 像會消失,測出物屏及透鏡的位置并記錄對應刻度尺上的數值,那么二者數值之差就是透鏡的焦距, 重復做幾次并取其平均值。在此實驗中要正確辨別哪個是要觀察的像是實驗的關鍵。像對于物都是 等大倒立的實像,如果將平面鏡取走后像沒有消失,則可以說明此物光沒有經過平面鏡的反射,而 是透鏡后表面對物光反射所形成的像。為什么會出現這種情況呢,是因為透鏡的前表面對于物相當 于凸面鏡,根據凸透鏡的成像規律,就不會對此物體的反射成實像;所以只有透鏡的后表面,對于 物相當于凹面鏡,由凹面鏡的成像規律,對此而言,經透鏡折射后所形成的物光進行反射可以成實 像,該反射光再次經過透鏡折射形成等大倒立的實像,其像距是小于焦距的。反之,若將平面鏡取 走后,如果像會消失,則此像即為所求的像,那么這時測出的物距就和凸透鏡的焦距相等。平面鏡 法測量簡單描述就是在白燈前放一帶有箭形縫隙的物屏,將被照亮的箭矢作為光源 (也就是“物”), 在凸透鏡的另一側放上一個平面鏡 ,并且調整物屏、凸透鏡、平面鏡使得它們三者共軸 , 要使平面 1

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鏡反射回來的光線必須在物屏的箭矢旁邊要形成一個很清晰的、 并且與物等大的倒立的實象,這時在 使用刻度尺測出凸透鏡到物屏間的距離 x 那么 x 即為凸透鏡的焦距 f. 用這種方法測出的凸透鏡的 焦距 f 的絕對誤差是:

?f ? ?x .
那么光會不會在透鏡表面就發生了反射,并沒有經過透鏡折射后再經平面鏡反射呢?如果會,我們 該如何避免這種誤差呢?解決方案是:用平行光匯聚法粗測待測凸透鏡的焦距;將光具座放置在水 平桌面上,并將照明光源、物屏、待測透鏡和平面鏡放在光具座導軌上,調節各光學原件的光軸, 使各光學原件等高、共軸;移動透鏡并適當調節平面鏡的方位,可看到物屏上出現倒立的清晰的像; 取下平面境,觀察像是否消失。如果像不消失,證明此像不是經平面鏡反射所成的像,將平面鏡安 裝好,重新尋找等大倒立清晰的實像;如果像消失,測出物屏及透鏡的位置,二者之差即為透鏡的 焦距,重復幾次取平均值。 優點是:測量方法最為簡單 , 可以常用作簡單、粗略測量凸透鏡的焦距的測量 缺點是:測量的誤差是非常大的 ?f ? ?x 1.2 透鏡公式法 (也叫做物距像距法 ) 透鏡公式法簡單描述是將凸透鏡放在物屏和像屏之間 ,然后分別調節物屏、凸透鏡、平面鏡這些光 學儀器使得它們三者共軸,再分別將物屏、凸透鏡各置于某一位置,緊接著適當的調節它們之間的距 離 ,然后移動像屏并使像屏上出現箭失清晰的并且倒立的實象 ,再用刻度尺分別測出物距 u 和像 距 v , 將 u 和 v 代入凸透鏡焦距公式 , 那么就有:

1 1 1 ? ? u v f
整理可得:

f?

uv . u?v

然后分別假設物距 u 和像距 v 的直接測量的誤差分別為 ? u 和 ?v , 再根據誤差傳遞的一般 公式計算可得出此方法測出透鏡焦距的誤差 , 用這種方法測出來的凸透鏡的焦距 f 的絕對誤差 為:

?f ?

?f ?f ?u ? ?v ?u ?v

v2 v2 ? ? u ? ?v 2 2 (u ? v) (u ? v)
由上面的公式即可算出 f 。實驗中,借助光屏上所成的實像進行相關數據的測量,計算出透鏡 的焦距。理論上,當物距一定時,透鏡成像清晰的位置只有一個,但由于人眼的分辨率較低,光屏 在一段區間內移動時,像看上去都很清晰似的,真正成像的位置難以判斷,會造成較大的誤差。 優點是:誤差相對平面鏡法小很多,而且在要求不是很精確的情況下可以選擇使用。 缺點是:相比較平面鏡法來說實驗相對較為復雜。 1.3 共軛法(也稱作貝塞爾法) 共軛法它是將物屏與像屏的位置分別固定起來不在移動 ,并且嚴格要求使它們之間的距離 L 超 過 f 的四倍 , 將凸透鏡放置在物屏與像屏的中間某一個位置上不做固定 ,然后分別調整物屏、凸透 鏡、平面鏡使得它們三者共軸, 由于凸透鏡并沒有固定,現在緩緩的移動凸透鏡 ,通過緩慢的移動 凸透鏡就可以找到凸透鏡在這兩個位置能使得像屏上出現清晰的倒立的物的實像 ,一次成放大的 像 ,一次成縮小的像 ,再測出這兩個位置之間的距離 d 和物屏與像屏之間的距離 L ,然后將 d 和 L 代入透鏡成像公式 , 可以得出:

2

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f?

L2 ? d 2 . 4L

然后分別假設 L 和 d 直接測量的誤差分別為 ?L 和 ?d , 根據誤差傳遞的一般公式可得,用這種 方法測得凸透鏡的焦距 f 的絕對誤差就是:

?f ?
?

?f ?f ?L ? ?d ?L ?d

L2 ? d 2 d ?L ? ?d 2 4L 2L

所測出的 d 和 L ,就可以算出 f 。這種方法中不需要考慮透鏡本身的厚度,因此這種方法測出 的焦距一般較為準確。但同時,在測量過程中,像的清晰程度不易把握,因此,要測量準確還需準 確找到最清晰的像。 優點是:誤差最小,可以作為精確測量凸透鏡焦距的實驗 缺點是:實驗要求相對較高,不易操作

2.常用誤差傳遞的一般公式
三種測量方法都存在一個共同問題:在理論上來說,當物距一定時,透鏡成像清晰的位置只有 一個,但由于人眼的分辨率較低,光屏在一段區間內移動時,像看上去都很清晰,使得真正成像的 位置難以判斷,造成較大的誤差。那么就需要對這三種方法進行比對選擇找出誤差較小的方法來測 量凸透鏡焦距。 假設有函數 y ? f(x1 ,將函數 y 作為間接測量量,可由此函數看出,間接測量 ,x 2??,xn) 量 y 可由各直接測量值 x1 , x2 , ?? , xn 來確定,假設如果各直接測量量的偶然誤差分別

,?x 2, ??,?xn 那 么 它 們 就 使 得 y 產 生 的 誤 差 為 ?y , 所 以 就 有 計 作 為 ?x1
可以看出在此 y ? ?y ? f ( x1 ? ?x1, x2 ? ?x2,??, xn ? ?xn) ,此式子表示間接測量量與誤差之和, 式中 ?x1 ,?x 2, ??,?xn 它們的正負會具有偶然性 ,考慮根據泰勒級數展開式來計算并且省略去 所有高次項后有:

y ? ?y ? f ( x1, x2,?? xn) ?
那么由上式便可得出 y 的絕對誤差就為:

?f ?f ?f ?x1 ? ?x 2 ? ?? ? ?xn, ?x1 ?x 2 ?xn

?y ?
這就是誤差傳遞的一般公式 .

?f ?f ?f ?x1 ? ?x2 ? ?? ? ?xn ?x1 ?x 2 ?x1

3.以上三種測量方法誤差的比較
在相同實驗條件下 , 各直接測量值 x , u , v ,L、d 的誤差分別計作 ?x、?u、?v、?L、?d 由于是在相同的實驗條件下就可以認為它們是相同的 , 所以就可以把它們都記作 ?x , 則公式法 的絕對誤差就可以表示為:

u 2 ? v2 ?f ? ?x, 2 (u ? v)
3

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共軛法的絕對誤差就可以表示為:
2 (L ? d) ?f ? ?X , 4 L2

因為 u > 0, v> 0 是實驗中必須要求的,所以就有:

?x U 2 ? V 2 ? ?x ? ?x , 2 (U ? V ) 2
而且又因為 L > d> 0 這也是實驗中必須要求的,所以又有:
2 (L ? d) 1 ?x ? ?x 2 4L 4

由上述對三種測量方法的誤差討論可以看出 , 如果測量同一凸透鏡的焦距 , 用第一種方法 (平面鏡法 )測量 f 產生的誤差最大 ; 第二種方法 (公式法 ) 測量產生的誤差較第一種方法小 ; 用第三種方法 ( 共軛法 )測量 f 產生的誤差最小 , 誤差最大也不超過第一種方法的 1/4.

4.在教學中以及不同條件下的選擇應用
在上述三種測量凸透鏡焦距的方法中 , 用平面鏡法測量的誤差雖然是這三種方法中最大的 , 但因為其方法最為簡單 , 可以常用作簡單、 粗略測量凸透鏡的焦距的測量 .凸透鏡成像公式是光學 部分的重要計算公式 , 在解決凸透鏡成像問題中有很重要的應用 , 雖然用公式法測量凸透鏡焦距 的方法測量的誤差比平面鏡法小 , 比共軛方法大 , 但在要求不是很精確的情況下可以選擇使用。 而且它也是作為高中學生必須掌握的測量方法 .所以學生必須掌握。由公式法的絕對誤差公式可以 推知 , 當 u = v 時 , 那么 f 的誤差為該種方法最小值 ,即 ?f ?

1 ?x , 因此 , 用這種方法測量 2

凸透鏡的焦距 f 時應在物距 u 和像距 v 接近相等時測量,這樣測得的 f 才較準確 .用共軛法測量凸 透鏡的焦距 , 也是要求高中學生必須掌握的實驗方法 . 這種方法適用于需要比較準確測量凸透鏡 焦距時采用 . 由f ?

L2 ? d 2 可得: 4L

d 2 ? L( L ? 4f ) 和 L ? d ?

4fL . L?d

由此可得出:當 L 越大、d 越大時 ,( L ? d) 越小 , 由⑥式也就是共軛法的絕對誤差公式可得出 ?f 也就越小 . 例如當 L ? 5f 時 , f 的誤差 ?f 約為第一種方法的 1/12. 因此 , 在用共軛法測 f 時 , 在保證光線近軸和兩次成像都能清晰的前提下 , 應盡量取物屏與像屏的距離 L 較大一些 ( 如 L ? 5f ) , 這樣測得的 f 的誤差比用公式法測量時小得多 .但是三種測量方法都存在一個共 同問題:理論上,當物距一定時,透鏡成像清晰的位置只有一個,但由于人眼的分辨率較低,光屏 在一段區間內移動時,像看上去都很清晰,使得真正成像的位置難以判斷,造成較大的誤差。但是 就測量原理來看,平面鏡法的原理所涉及的知識點較簡單,且邏輯不是太復雜,適合初中生學習。

5.結語
本文主要對三中測量凸透鏡焦距的方法即平面鏡法、公式法、共軛法在不同的條件下的選擇以 及在教學中的應用和對學生應該如何掌握做了一定分析。主要利用微積分學以及泰勒展式進行誤差 分析,并計算其標準誤差進行對比。分析出了在粗測透鏡焦距時可以使用平面鏡法,而公式法是有

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要求在物距和像距相等時使用公式法測量最為精確誤差最小;在保證光線近軸和兩次兩次成像都能 清晰的前提下,取物屏與像屏的距離較大一些測量出的透鏡焦距較準確誤差最小。所以,在以后測 量凸透鏡焦距的時候要根據現有的情況來選擇測量方法已達到最理想誤差最小的效果。這些對以后 的教學和應用都會有很大的幫助。在未來科研中對薄透鏡焦距測量選擇方法都會有很好的借鑒。 參考文獻
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The Comparison of Several Methods to Measure the Focal Length of Convex Lens
Lan PengTao
(Grade11,Class01,Major in physics ,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,Shaanxi)

Tutor: Li JingLing
[Abstract] There are many methods of measuring and error analysis about the focal length of convex lens, for
example, the flat mirror method. The formula method and the conjugate method are common. This paper emphasis on studying these measuring methods and its relative merits in different conditions to provide specific choosing basis when a learner measures the focal length of convex lens.

[Keywords]
collimation method.

convex lens;

focal length;

flat mirror method;

formula method;

conjugate method;

auto

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